1. 线性空间

线性空间 向量 子空间 和与直和

eg 有序实数对 箭头 *平移 多项式 同构

线性空间又名向量空间，

在数域$\mathbb{F}$上的(over)向量空间$V$:

公理	说明
向量加法的结合律	$\boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) = (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w}$
向量加法的交换律	$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} + \boldsymbol{u}$
向量加法的单位元	存在一个叫作零向量的元素$\boldsymbol{0} \in V$，使得对任意$\boldsymbol{v} \in V$都满足$\boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}$ $\exists \boldsymbol{0} \in V ,\ s.t. \ \forall \boldsymbol{v} \in V,\ \boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}$
向量加法的逆元素	对任意$\boldsymbol{v} \in V$都存在其逆元素$-\boldsymbol{v} \in V$使得$\boldsymbol{v} +(-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}$ $\forall \boldsymbol{v} \in V,\ \exists (-\boldsymbol{v}) \in V,\ s.t.\ \boldsymbol{v} + (-\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}$
标量乘法与标量的域乘法相容	$a(b\boldsymbol{v}) = (ab)\boldsymbol{v} \equiv ab\boldsymbol{v}$
标量乘法的单位元	域$\mathbb{F}$存在乘法单位元$1$满足$1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$ $\exists 1 \in \mathbb{F},\ 1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$
标量乘法对向量加法的分配律	$a(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=a\boldsymbol{u}+a\boldsymbol{v}$
标量乘法对域加法的分配律	$(a+b)\boldsymbol{v}=a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{v}$

习题：证明向量加法单位元与标量乘法单位元的唯一性

子空间是构成线性空间的子集，但是子集不都是子空间

子空间的和是所有子空间所有向量张成的空间(张成之后讲)

和($V = W_1 + W_2$)不是并($V = W_1 \cup W_2$)

直和：和空间中任一向量可由唯一一组分别属于不同空间的向量加和得到

两个子空间可作直和($V = W_1 \oplus W_2$)的充要条件：交集只含零元；多个子空间不可以这样判定

线性映射 线性性 零空间 值域 线性变换

线性映射 $T : V_1 \xrightarrow{\text{Linear}ly} V_2$

线性映射满足线性性：$T(\alpha\boldsymbol{v}+\beta\boldsymbol{w})=\alpha T(\boldsymbol{v})+\beta T(\boldsymbol{w})$

(线性)映射的复合与结合律 $S \circ T \equiv ST$

$(ST)(\boldsymbol{v})=S(T\boldsymbol{v})\equiv ST\boldsymbol{v}$

$(ST)L=S(TL) \equiv STL$

练习：证明 复合保线性性

零空间是定义域的子空间

练习：实际上，这个定义只能保证零空间是定义域的子集，请证明零空间其实是子空间

值域($\mathrm{range}\ T$)是到达域的子空间

称自反线性映射为线性变换 $T : V \xrightarrow{\text{Linear}ly} V$

有的书也称线性变换为线性算子