2. 基

线性组合 线性相关性 基 有限维 $\mathrm{span}$ $\mathrm{dim}$

线性相关

线性空间的维度$\mathrm{dim}\ V$定义为空间中任一极大线性无关向量组的长度(“极大”自动使$\mathrm{dim}\ V$唯一)

线性空间的一组基是这样一个线性无关向量组：线性空间中的任一向量，都可以由这组基中的向量线性表出

{极大线性无关向量组}={基}

练习：

证明任意线性空间必有基

证明同一个有限维空间中基的长度为定值(利用对称性)

证明{极大线性无关向量组}={基}

基的选择是任意的，也是不必要的*

直和与线性无关性

线性空间的同构 线性变换的逆

两个空间$V\ W$同构，当且仅当存在可逆态射(这里是线性映射)

两个线性空间同构，当且仅当两者维数相同。（显然）

线性映射可逆，必有其定义域与到达域维数相同

线性变换的逆的存在判定：单($T\boldsymbol{u}=T\boldsymbol{v} \Rightarrow \boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}$)、满、可逆，三者彼此等价

矩阵 as线性组合 列空间与值域 秩 方阵 as线性变换

矩阵表示必须要先选基底，基底将向量空间中的向量(组)线性映射成矩阵 $\mathrm{Base}: \mathrm{V} \xrightarrow{\text{Linear}ly} \mathrm{Mat}(1, \mathrm{dim} \mathrm{V}, \mathbb{F})$

矩阵空间 同构

矩阵乘法的各种计算方法

列空间$\mathrm{C}(A)$对应值域$\mathrm{range}\ T$

$\mathrm{rank}\ A= \mathrm{dim}\ \mathrm{C}(A)$

方阵对应线性变换

方阵求逆 *伴随矩阵

逆矩阵的存在条件

基变换 相似矩阵

基变换运用矩阵as线性组合，但实际也是一种线性变换（这里的变换是在$\mathrm{Mat}$中的一种自反映射）

基变换最好用as线性组合的形式理解 这样体现向量在同一个线性空间$\mathrm{V}$中对应的是同一个元素，向量本身在基变换中保持不变

所以其实没变，基变换不是变换，至少不是向量空间$\mathrm{V}$中的变换

相似矩阵表示的是同一个线性变换，只是基底选择不同