内积 对偶向量

矩阵转置

特征多项式

行列式

特征值与特征向量

迹

线性组合 线性相关性 基 有限维 $\mathrm{span}$ $\mathrm{dim}$

线性相关

线性空间的维度$\mathrm{dim}\ V$定义为空间中任一极大线性无关向量组的长度(“极大”自动使$\mathrm{dim}\ V$唯一)

线性空间的一组基是这样一个线性无关向量组：线性空间中的任一向量，都可以由这组基中的向量线性表出

{极大线性无关向量组}={基}

练习：

证明任意线性空间必有基

证明同一个有限维空间中基的长度为定值(利用对称性)

证明{极大线性无关向量组}={基}

基的选择是任意的，也是不必要的*

直和与线性无关性

线性空间的同构 线性变换的逆

两个空间$V\ W$同构，当且仅当存在可逆态射(这里是线性映射)

两个线性空间同构，当且仅当两者维数相同。（显然）

线性映射可逆，必有其定义域与到达域维数相同

线性变换的逆的存在判定：单($T\boldsymbol{u}=T\boldsymbol{v} \Rightarrow \boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}$)、满、可逆，三者彼此等价

矩阵 as线性组合 列空间与值域 秩 方阵 as线性变换

矩阵表示必须要先选基底，基底将向量空间中的向量(组)线性映射成矩阵 $\mathrm{Base}: \mathrm{V} \xrightarrow{\text{Linear}ly} \mathrm{Mat}(1, \mathrm{dim} \mathrm{V}, \mathbb{F})$

矩阵空间 同构

矩阵乘法的各种计算方法

列空间$\mathrm{C}(A)$对应值域$\mathrm{range}\ T$

$\mathrm{rank}\ A= \mathrm{dim}\ \mathrm{C}(A)$

方阵对应线性变换

方阵求逆 *伴随矩阵

逆矩阵的存在条件

基变换 相似矩阵

基变换运用矩阵as线性组合，但实际也是一种线性变换（这里的变换是在$\mathrm{Mat}$中的一种自反映射）

基变换最好用as线性组合的形式理解 这样体现向量在同一个线性空间$\mathrm{V}$中对应的是同一个元素，向量本身在基变换中保持不变

所以其实没变，基变换不是变换，至少不是向量空间$\mathrm{V}$中的变换

相似矩阵表示的是同一个线性变换，只是基底选择不同

线性空间 向量 子空间 和与直和

eg 有序实数对 箭头 *平移 多项式 同构

线性空间又名向量空间，

在数域$\mathbb{F}$上的(over)向量空间$V$:

公理	说明
向量加法的结合律	$\boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) = (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w}$
向量加法的交换律	$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} + \boldsymbol{u}$
向量加法的单位元	存在一个叫作零向量的元素$\boldsymbol{0} \in V$，使得对任意$\boldsymbol{v} \in V$都满足$\boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}$ $\exists \boldsymbol{0} \in V ,\ s.t. \ \forall \boldsymbol{v} \in V,\ \boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}$
向量加法的逆元素	对任意$\boldsymbol{v} \in V$都存在其逆元素$-\boldsymbol{v} \in V$使得$\boldsymbol{v} +(-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}$ $\forall \boldsymbol{v} \in V,\ \exists (-\boldsymbol{v}) \in V,\ s.t.\ \boldsymbol{v} + (-\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}$
标量乘法与标量的域乘法相容	$a(b\boldsymbol{v}) = (ab)\boldsymbol{v} \equiv ab\boldsymbol{v}$
标量乘法的单位元	域$\mathbb{F}$存在乘法单位元$1$满足$1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$ $\exists 1 \in \mathbb{F},\ 1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$
标量乘法对向量加法的分配律	$a(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=a\boldsymbol{u}+a\boldsymbol{v}$
标量乘法对域加法的分配律	$(a+b)\boldsymbol{v}=a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{v}$

习题：证明向量加法单位元与标量乘法单位元的唯一性

子空间是构成线性空间的子集，但是子集不都是子空间

子空间的和是所有子空间所有向量张成的空间(张成之后讲)

和($V = W_1 + W_2$)不是并($V = W_1 \cup W_2$)

直和：和空间中任一向量可由唯一一组分别属于不同空间的向量加和得到

两个子空间可作直和($V = W_1 \oplus W_2$)的充要条件：交集只含零元；多个子空间不可以这样判定

线性映射 线性性 零空间 值域 线性变换

线性映射 $T : V_1 \xrightarrow{\text{Linear}ly} V_2$

线性映射满足线性性：$T(\alpha\boldsymbol{v}+\beta\boldsymbol{w})=\alpha T(\boldsymbol{v})+\beta T(\boldsymbol{w})$

(线性)映射的复合与结合律 $S \circ T \equiv ST$

$(ST)(\boldsymbol{v})=S(T\boldsymbol{v})\equiv ST\boldsymbol{v}$

$(ST)L=S(TL) \equiv STL$

练习：证明 复合保线性性

零空间是定义域的子空间

练习：实际上，这个定义只能保证零空间是定义域的子集，请证明零空间其实是子空间

值域($\mathrm{range}\ T$)是到达域的子空间

称自反线性映射为线性变换 $T : V \xrightarrow{\text{Linear}ly} V$

有的书也称线性变换为线性算子

集合与映射

集合 联系性质与对象 $S=\lbrace x|p(x)\rbrace ,\ s \in S$

有限集中元素个数称为集合的长度；集合的势

交 并 差 补 直积($X \times Y := \lbrace(x,\ y)|x \in X,\ y \in Y\rbrace$)

映射 集合之间的关系 $f:X \rightarrow Y;\quad f:x \mapsto y$

定义域($Domain$)$D_f$ 到达域($Codomain$)$C_f$ 值域($Range$)$R_f = \lbrace y|y=f(x),\ \forall x\in D_f\rbrace \subset C_f$

存在恒等映射 $\mathrm{id}_X:X \rightarrow X,\ \forall x \in X,\ \mathrm{id}_X(x)=x$

映射的复合($f \circ g$):

$f\in \lbrace f|f:B \rightarrow C \rbrace ,\ g\in \lbrace f|f:A \rightarrow B \rbrace,\ \exists! f \circ g \in \lbrace f|f:A \rightarrow C \rbrace,\ s.t.\ \forall x \in A ,\ f(g(x))=(f \circ g)(x)$

映射的结合律:

$(f \circ g)(x)=f(g(x))$

$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) \equiv f \circ g \circ h$

单射($\forall y \in R_f ,\ \exists! x \in D_f ,\ s.t. \ f(x)=y\ ; \quad$$f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$) 满射($C_f=R_f$) 双射(既单又满)

单：若$f \circ h = f \circ g \Rightarrow g = h$(左可约)，称$f$为单射

满：$f:A\rightarrow B,\$ $\forall g,\ h\in \lbrace f|f:B\rightarrow C \rbrace ,\ g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$(右可约)称$f$为满射

映射的逆:

$f:X\rightarrow Y$，$\mathrm{id}_X,\ \mathrm{id}_Y$分别是集合$X,\ Y$上的恒等映射，那么如果存在一个映射$g:Y\rightarrow X$，使$g \circ f = \mathrm{id}_X,\$$f \circ g = \mathrm{id}_Y$，称$g$为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$

另有观点：$f^{-1}:P(C_f)\rightarrow P(D_f)$，其中$P(X)$表示$X$的幂集

集合的同构：存在可逆映射；双射与映射可逆互为充分必要条件

函数是定义域与到达域都是数集的映射